Analyse de second ordre

L’analyse du second ordre prend en compte la façon dont la structure se déforme lorsque des charges y sont appliquées. Numériquement parlant, toute la charge est divisée en portions plus petites et pour chaque partie de charge, la rigidité de la structure change.

Les effets de second ordre sont également appelés effets P-Δ et p-δ, et dans SCIA Engineer (entre autres), ces effets sont également appelés non-linéarité géométrique.

Voici quelques questions courantes des utilisateurs auxquelles notre équipe d’assistance doit souvent répondre.

Quand dois-je effectuer une analyse de deuxième commande ?

Les parties de l’Eurocode spécifiques aux matériaux (EC2, EC3, EC4, EC5, etc.) spécifient dans leur chapitre 5 (Analyse structurelle) quand effectuer une analyse de second ordre. Pour les structures en acier, faibles valeurs de α_Cr Le coefficient indique une grande flexibilité (ou élancement) de la structure et, par conséquent, une grande sensibilité aux imperfections initiales et aux déplacements latéraux.

Le coefficient α_Cr  est déterminé en divisant la charge de flambage critique élastique pour un mode d’instabilité globale, F_Cr, par la charge de conception sur la structure, F_Ed. En d’autres termes, nous devons nous fier aux résultats de l’analyse de stabilité pour savoir SI nous devons effectuer une analyse de second ordre ou non.

Ce que nous pouvons faire dans SCIA Engineer, c’est créer des combinaisons de stabilité à partir de combinaisons de conception sélectionnées et obtenir les facteurs de flambage critiques qui correspondent à ces scénarios de charge. Ces facteurs sont simplement des multiplicateurs de la charge présente dans la combinaison de stabilité. Et parce que nos combinaisons de stabilité sont la « charge de conception », ces facteurs sont exactement les α_Cr les coefficients que nous recherchons.

Il est également important de savoir quel type d’analyse FEM de la structure nous aimerions effectuer pour obtenir les forces internes de conception: allons-nous nous en tenir à l’analyse élastique ou voudrions-nous également utiliser des charnières en plastique pour redistribuer les moments? Selon EC3, lorsque nous effectuons une analyse élastique et l’un de nos α_Cr sont inférieurs à 10, puis nous devons concevoir la structure à l’aide de résultats d’analyse de second ordre. Dans le cas de l’analyse plastique (p. ex., charnière), tout αcr descendant en dessous de 15 indique la nécessité de passer au second ordre.

 

 

Comment puis-je insérer des imperfections globales selon le code ?

Les imperfections géométriques dans un modèle FE garantissent que les effets de second ordre sont correctement déclenchés lors d’une analyse non linéaire. Ceux qui connaissent le chapitre 5 d’EC3 demandent souvent comment prendre en compte les imperfections globales ou des membres dans SCIA Engineer.

Les imperfections sont définies au niveau d’une combinaison non linéaire : chaque combinaison non linéaire peut avoir son propre ensemble d’imperfections. Ceci est utile, car différents scénarios de chargement induisent différents modes de défaillance, qui à leur tour sont influencés dans une plus ou moins grande mesure par une forme d’imperfection spécifique.

Pour définir une imperfection globale comme une inclinaison latérale uniforme de la structure, utilisez le type d’entrée appelé « Inclinaison simple » et définissez l’inclinaison relative le long des axes X et Y globaux, dx et dy. Dans le EC3, une formule est donnée au chapitre 5.3.2, figure 5.2, pour l’angle d’inclinaison, φ. Dans les champs de saisie de la boîte de dialogue de combinaison non linéaire, utilisez dx = 1000*φx (ou dx = 1000*tan(φx), selon la façon dont vous interprétez la figure). Le type d’imperfection d’inclinaison simple est parfait pour les structures régulières en plan et en hauteur.

Existe-t-il différentes possibilités d’entrée pour les imperfections globales?

Oui, quelques-uns d’entre eux sont possibles dans SCIA Engineer. Nommément:

• Fonctions d’inclinaison: si vous souhaitez faire varier la valeur d’inclinaison et même signer le long de la hauteur (ou de la longueur) d’une structure, vous pouvez utiliser des fonctions d’imperfection. Ces fonctions sont des courbes multilinéaires définies manuellement, saisies et stockées via des bibliothèques > structure, analyse > imperfections initiales.

• Imperfections basées sur un cas de charge : SCIA Engineer peut calculer la déformation d’une structure pour un cas de charge que vous spécifiez, et appliquer cette déformation comme une imperfection initiale. Si vous savez quelle forme d’imperfection vous aimeriez plus ou moins obtenir, vous pouvez définir un cas de charge qui provoquerait une telle déformation; Vous pouvez définir un cas de charge avec une fraction de toutes les charges de conception ; De cette façon, vous êtes certain que tous les effets de stabilité possibles seront représentés dans l’analyse.

• Une forme  de stabilité comme imperfection: vous pouvez sélectionner une combinaison de stabilité et l’une de ses formes de flambage à appliquer comme imperfection sur la structure.

Comment puis-je insérer les imperfections locales selon le code ?

Comme mentionné ci-dessus, les imperfections sont attribuées par combinaison non linéaire. Le moyen le plus pratique d’attribuer la valeur des imperfections est de se référer (via les paramètres de la combinaison) aux paramètres de flambage. Cela permet de spécifier, via les systèmes de flambage, quels membres doivent avoir des imperfections: il est souvent pratique de considérer les imperfections sur des membres spécifiques que nous aimerions étudier plus en détail, plutôt que d’attribuer des imperfections à tous les membres de la structure.

Existe-t-il différentes possibilités d’entrée pour les imperfections locales?

Oui. Au lieu de faire référence aux données de flambage, SCIA Engineer vous permet de définir les imperfections locales directement via les propriétés de la combinaison non linéaire. Gardez à l’esprit que la courbure spécifiée sera ensuite appliquée à tous les membres de la structure.

 

Que signifie la fonctionnalité « non-linéarité géométrique » ?

La non-linéarité géométrique fait référence à un calcul de second ordre. Lorsque vous exécutez une analyse alors que ce paramètre est activé, la structure se déforme au fur et à mesure de l’application de la charge et les étapes de charge et la méthode numérique pour le calcul non linéaire sont prises comme défini dans les paramètres du solveur. Par conséquent, les résultats seront différents d’une analyse linéaire, que les imperfections initiales soient appliquées ou non. Cependant, pour capturer correctement les effets non linéaires importants, il est conseillé d’utiliser des imperfections.

Remarque : La non-linéarité géométrique est prise en compte dans l’analyse non linéaire, qui est à son tour exécutée pour les combinaisons non linéaires. Les effets de second ordre ne sont pas présents dans les résultats de l’analyse linéaire : les cas de charge résolus linéairement sont superposés pour obtenir les résultats des combinaisons linéaires. Dans un contexte non linéaire, le principe de superposition ne s’applique pas, car les effets des charges influencent les effets des autres charges.

Comment dois-je calculer l’amplitude de l’imperfection lorsque j’utilise une forme de flambage comme imperfection ?

Cadres

 

La norme EN 1993-1-1 donne des lignes directrices au § 5.3.2 (11) sur la façon de calculer l’amplitude d’une forme d’imperfection unique dérivée directement de l’analyse de stabilité (η_Init). Cette méthode est valide pour les trames et nécessite que vous dériviez l’amplitude manuellement et que vous l’entrez dans SCIA Engineer. Le choix d’une forme imparfaite vous appartient également.

Cette méthode de gestion des imperfections nécessite de définir une combinaison de charges pour l’analyse de stabilité elle-même et d’examiner visuellement les contrôles d’instabilité obtenus. Vous devez sélectionner la forme de flambement critique la plus basse qui représente la déformation globale de la structure dans la direction étudiée dans le scénario de charge non linéaire qui suivra. La forme d’instabilité et son amplitude sont à nouveau saisies par combinaison non linéaire.
Pour la dérivation de l’amplitude de l’imperfection, vous devez obtenir quelques entrées du modèle FE, des résultats de l’analyse linéaire et de stabilité, ainsi que de l'eurocode.

L’imperfection est dérivée comme suit:

 

Avec:

• η_Cr: la forme du mode de flambement critique élastique, d’où le terme avant est la valeur d’amplitude

• χ et α: facteur de réduction et d’imperfection, tel que calculé pour la section critique; ceux-ci peuvent être tirés de la vérification du code de l’acier
• α_ult,k: un facteur qui, appliqué aux charges dans un scénario linéaire, permettrait à l’élément le plus comprimé d’atteindre sa résistance de section caractéristique N_Rk
• α_Cr: facteur de flambement critique élastique pour la combinaison de stabilité et la forme de flambage sélectionnée. Pour assurer la cohérence, la combinaison de stabilité doit contenir les mêmes charges que celles analysées dans la combinaison non linéaire.
• M_Rk: la résistance au moment caractéristique de la section transversale critique, calculée pour la classe de section concernée
• N_Rk: la résistance caractéristique de la force axiale de la section transversale critique
• EIη''_cr,max: (terme entier) est le moment de flexion dû à η_Cr à la section transversale critique

Lorsque nous interprétons ce qui précède, nous voyons que nous devons déterminer:

• la section transversale critique de la structure (où les effets de charge conduisent à un taux d’utilisation maximal dans un contexte linéaire),
• le membre le plus comprimé de la structure.

α_ult,k, M_Rk, N_Rk, χ et α peuvent être obtenus à partir de la vérification du code de l’acier. α_Cr et (EIη''_cr,max) peuvent être obtenues à partir des résultats de l’analyse de stabilité.

Plaques

Pour les structures modélisées par des éléments de plaque 2D, une procédure similaire s’applique, mais l’amplitude des imperfections doit être déterminée à partir du §C5 de la norme EN 1993-1-5. Encore une fois, pour capturer correctement tous les modes de défaillance de flambage potentiels, il faut exécuter une analyse non linéaire avec des effets de second ordre et des imperfections initiales.

En raison de la polyvalence des modèles d’éléments plaqués, en théorie, tous les modes de défaillance peuvent être capturés avec :

• maillage;
• formulation d’éléments pour la flexion et le cisaillement;
• et l’inclusion des imperfections.

Ceci est différent des structures de cadre, où des vérifications supplémentaires sont nécessaires pour le flambage latéral-torsionnel et torsionnel.

§C5 de la norme EN 1993-1-5 essentiellement deux possibilités pour la définition des imperfections:

• a. Une modélisation explicite des imperfections géométriques et structurelles :
  • les imperfections géométriques peuvent être approchées sous forme de formes de flambement, les amplitudes représentant 80 % des tolérances de fabrication;
  • Les imperfections structurelles (p. ex., les contraintes résiduelles) peuvent être représentées par un schéma de contraintes attendu du procédé de fabrication avec des amplitudes égales aux valeurs (moyennes) attendues.
• b. Modélisation de la forme et de l’amplitude de l’imperfection selon une approche simplifiée donnée dans le tableau C.2. Dans ce cas, les imperfections géométriques et structurelles sont représentées par des imperfections géométriques équivalentes.
  
  Le tableau C.2 donne les valeurs d’amplitude par type de composant qui sont simples à dériver. Cependant, le chapitre précise qu’il peut être nécessaire de combiner différents types d’imperfections géométriques: en plus de l’imperfection principale, d’autres formes d’imperfections doivent être représentées (en plus) avec 70 % de leur valeur d’amplitude recommandée. SCIA Engineer n’autorise l’utilisation que d’une seule forme de flambement comme imperfection : si nécessaire, les imperfections géométriques d’accompagnement peuvent être remplacées par des forces fictives appropriées agissant sur la structure.